Python数据结构之图的存储结构详解
作者:夏小悠 时间:2021-03-28 10:42:48
一、图的定义
图是一种比树更复杂的一种数据结构,在图结构中,结点之间的关系是任意的,任意两个元素之间都可能相关,因此,它的应用极广。图中的数据元素通常被称为顶点 ( V e r t e x ) (Vertex) (Vertex), V V V是顶点的有穷非空集合, V R VR VR是两个顶点之间的关系的集合(可以为空),可以表示为图 G = { V , { V R } } G=\{V,\{VR\}\} G={V,{VR}}。
二、相关术语
2.1 无向图
给定图 G = { V , { E } } G=\{V,\{E\}\} G={V,{E}},若该图中每条边都是没有方向的,则称其为无向图
( U n d i g r a p h ) (Undigraph) (Undigraph)。对图 G G G中顶点 v v v和顶点 w w w的关系,可用无序对 ( v , w ) (v,w) (v,w)表示,它是连接 v v v和 w w w的一条边 ( E d g e ) (Edge) (Edge)。
2.2 有向图
给定图 G = { V , { A } } G=\{V,\{A\}\} G={V,{A}},若该图中每条边都是有方向的,则称其为有向图
( D i g r a p h ) (Digraph) (Digraph)。对图 G G G中顶点 v v v和顶点 w w w的关系,可用有序对 < v , w > <v,w> <v,w>表示,它是从 v v v到 w w w的一条弧 ( A r c ) (Arc) (Arc),其中 v v v被称为弧尾
( T a i l ) (Tail) (Tail), w w w被称为弧头
( H e a d ) (Head) (Head)。
弧尾也叫初始点 ( I n i t i a l (Initial (Initial N o d e ) Node) Node),弧头也叫终端点 ( T e r m i n a l (Terminal (Terminal N o d e ) Node) Node)。
2.3 完全图
对于任一无向图,若其顶点的总数目为 n n n,边的总数目为 e = n ( n − 1 ) 2 e=\frac {n(n-1)} {2} e=2n(n−1),则称其为完全图
( C o m p l e t e d (Completed (Completed G r a p h ) Graph) Graph)。
2.4 有向完全图
对于任一有向图,若其顶点的总数目为 n n n,边的总数目为 e = n ( n − 1 ) e=n(n-1) e=n(n−1),则称其为有向完全图
。
2.5 稀疏图和稠密图
对于具有 n n n个顶点, e e e条边或弧的图来说,若 e e e很小,比如 e < n log n e<n\log n e<nlogn,则称其为稀疏图
( S p a r s e (Sparse (Sparse G r a p h ) Graph) Graph),反之称其为稠密图
( D e n s e (Dense (Dense G r a p h ) Graph) Graph)。
2.6 权和网
赋予图中边或弧的数值称为权
( W e i g h t ) (Weight) (Weight),它可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离;带权的图称为网
( N e t w o r k ) (Network) (Network)。
2.7 稀疏网和稠密网
带权的稀疏图、稠密图称为稀疏网
、稠密网
。
2.8 子图
对于图 G = { V , { E } } G=\{V,\{E\}\} G={V,{E}}和图 G ′ = { V ′ , { E ′ } } G'=\{V',\{E'\}\} G′={V′,{E′}},若 V ′ ⊆ V V'\subseteq V V′⊆V且 E ′ ⊆ E E'\subseteq E E′⊆E,则称 G ′ G' G′为 G G G的子图
( S u b g r a p h ) (Subgraph) (Subgraph)。
2.9 邻接点
对于无向图 G = { V , { E } } G=\{V,\{E\}\} G={V,{E}},若 v ∈ V v\in V v∈V、 w ∈ V w\in V w∈V且 ( v , w ) ∈ E (v,w)\in E (v,w)∈E,则称顶点 v v v和顶点 w w w互为邻接点
( A d j a c e n t ) (Adjacent) (Adjacent),并称边 ( v , w ) (v,w) (v,w)依附 ( I n c i d e n t ) (Incident) (Incident)于顶点 v v v和顶点 w w w,或称边 ( v , w ) (v,w) (v,w)与顶点 v v v和顶点 w w w相关联。
对于有向图 G = { V , { A } } G=\{V,\{A\}\} G={V,{A}},若 v ∈ V v\in V v∈V、 w ∈ V w\in V w∈V且 < v , w > ∈ A <v,w>\in A <v,w>∈A,则称顶点 v v v邻接到顶点 w w w,顶点 w w w邻接自顶点 v v v,并称弧 < v , w > <v,w> <v,w>与顶点 v v v和顶点 w w w相关联。
2.10 度、入度与出度
在无向图中,顶点 v v v的度
( D e g r e e ) (Degree) (Degree)等于与该顶点相关联的边的数目,记为 T D ( v ) TD(v) TD(v)。
在有向图中,顶点 v v v的度
等于该顶点的入度与出度之和,记为 T D ( v ) = I D ( v ) + O D ( v ) TD(v)=ID(v)+OD(v) TD(v)=ID(v)+OD(v),其中顶点 v v v的入度
( I n D e g r e e ) (InDegree) (InDegree)为以该顶点为弧头的弧的数目,记为 I D ( v ) ID(v) ID(v),顶点 v v v的出度
( O u t D e g r e e ) (OutDegree) (OutDegree)为以该顶点为弧尾的弧的数目,记为 O D ( v ) OD(v) OD(v)。
2.11 路径、简单路径与路径长度
路径
( P a t h ) (Path) (Path)是任意两个有关联的顶点之间的边或弧,在图 G = { V , { V R } } G=\{V,\{VR\}\} G={V,{VR}}中,顶点 v 1 v_1 v1到顶点 v n v_n vn的路径是一个顶点序列 ( v 1 , v 2 , … , v i , v j , … , v n ) (v_1,v_2,\dots,v_i,v_j,\dots,v_n) (v1,v2,…,vi,vj,…,vn),对于上述序列中的任意相邻的顶点 v i v_i vi和 v j v_j vj,若图 G G G是无向图,则有 ( v , w ) ∈ E (v,w)\in E (v,w)∈E,若图 G G G是有向图,则有 < v , w > ∈ A <v,w>\in A <v,w>∈A。
对于给定的一条路径,若该路径对应的序列中的顶点不重复,则称为该路径为简单路径
。
路径上边或弧的数目称为路径长度
。
2.12 回路与简单回路
若某一路径中的第一个顶点和最后一个顶点相同,则称该路径为回路
,也称为环
( C y c l e ) (Cycle) (Cycle)。
在某一回路中,若除去第一个顶点和最后一个顶点外,其余顶点均不重复,则称为该回路为简单回路
,也称为简单环
。
2.13 连通图与连通分量
在无向图中,若从顶点 v v v到顶点 w w w有路径,则称为 v v v到 w w w是连通的,若该图中的任意两个顶点间都是连通的,则称该图为连通图
( C o n n e c t e d (Connected (Connected G r a p h ) Graph) Graph)。无向图中的极大连通子图称为连通分量
( C o n n e c t e d (Connected (Connected C o m p o n e n t ) Component) Component)。这里的极大就是尽可能地包含更多的顶点。
2.14 强连通图与强连通分量
在有向图中,若从顶点 v v v到顶点 w w w有路径,从顶点 w w w到顶点 v v v也有路径,则称为 v v v和 w w w是强连通的,若该图中的任意两个顶点间都是强连通的,则称该图为强连通图
。有向图中的极大连通子图称为强连通分量
。
2.15 生成树、最小生成树与生成森林
具有 n n n个顶点的连通图的极小连通子图称为生成树
,生成树包含这一连通图的 n n n个顶点和 n − 1 n-1 n−1条边。这里的极小是尽可能少地包含边。
通常把各边带权的连通图称为连通网,在连通网的所有生成树中,对每一棵生成树的各边权值求和,其中权值最小的生成树称为该连通网的最小生成树
。
非连通图的各连通分量的生成树组成的森林称为生成森林
。
3. 图的性质
3.1 性质1
若图中有 n n n个顶点 v 1 , v 2 , … , v n v_1,v_2,\dots,v_n v1,v2,…,vn, e e e条边或弧,其中顶点的度分别为 T D ( v 1 ) , T D ( v 2 ) , … , T D ( v n ) TD(v_1),TD(v_2),\dots,TD(v_n) TD(v1),TD(v2),…,TD(vn),则有
e = 1 2 ∑ i = 1 n T D ( v i ) e=\frac {1} {2} \sum_{i=1} ^ {n} TD(v_i) e=21i=1∑nTD(vi)
3.2 性质2
一棵有 n n n个顶点的生成树有且仅有 n − 1 n-1 n−1条边。
4. 图的存储结构
4.1 邻接矩阵
用于无向图、有向图
在存储含有 n n n个结点的图 G = { V , { V R } } G=\{V,\{VR\}\} G={V,{VR}}时,将图中的所有顶点存储在长度为 n n n的一维数组中,将图中边或弧的信息存储在 n × n n\times n n×n的二维数组中,我们称这个二维的数组为邻接矩阵。假设图 G G G中顶点 v v v和顶点 w w w在一维数组中的下标分别为 i i i、 j j j,则该图对应各邻接矩阵定义如下:
若该图为无向图或有向图,则
A r c s [ j ] [ j ] = { 1 , ( v , w ) ∈ E 或 < v , w > ∈ A 0 , 其 他 Arcs[j][j]=\begin{cases} 1, & (v,w)\in E或<v,w>\in A\\ \\ 0, & 其他 \end{cases} Arcs[j][j]=⎩⎪⎨⎪⎧1,0,(v,w)∈E或<v,w>∈A其他 若该图为无向网或有向网,则
A r c s [ j ] [ j ] = { w i j , ( v , w ) ∈ E 或 < v , w > ∈ A ∞ , 其 他 Arcs[j][j]=\begin{cases} w_{ij}, & (v,w)\in E或<v,w>\in A\\ \\ \infty, & 其他 \end{cases} Arcs[j][j]=⎩⎪⎨⎪⎧wij,∞,(v,w)∈E或<v,w>∈A其他 其中, w i j w_{ij} wij为边或弧对应的权值。
定义图中的顶点:
class VertexMatrix(object):
"""
图的一个顶点
"""
def __init__(self, data):
self.data = data
self.info = None
定义图:
class GraphMatrix(object):
"""
图的邻接矩阵
"""
def __init__(self, kind):
# 图的类型: 无向图, 有向图, 无向网, 有向网
# kind: Undigraph, Digraph, Undinetwork, Dinetwork,
self.kind = kind
# 顶点表
self.vertexs = []
# 边表, 即邻接矩阵, 是个二维的
self.arcs = []
# 当前顶点数
self.vexnum = 0
# 当前边(弧)数
self.arcnum = 0
无向图及其邻接矩阵、有向网及其邻接矩阵如下:
A r c s = [ 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 ] A r c s = [ ∞ 1 2 ∞ ∞ ∞ 3 ∞ ∞ ∞ ∞ 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ] Arcs=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} Arcs=\begin{bmatrix} \infty & 1 & 2 & \infty \\ \infty & \infty & 3 & \infty \\ \infty & \infty & \infty & 4 \\ \infty & \infty & \infty & \infty \end{bmatrix} Arcs=⎣⎢⎢⎡0101100100011110⎦⎥⎥⎤Arcs=⎣⎢⎢⎡∞∞∞∞1∞∞∞23∞∞∞∞4∞⎦⎥⎥⎤
邻接矩阵的特点如下:
(1) 由于在创建邻接矩阵时,输入顶点的顺序不同,其相应的邻接矩阵也是不同的;
(2) 对于含有 n n n个顶点的图,其邻接矩阵一定是 n × n n\times n n×n的二维数组;
(3) 无向图的邻接矩阵具有对称性,可采用压缩存储的方式存储;
(4) 对于无向图,若某一顶点 v v v在一维数组中的下标为 i i i,则该顶点的度为邻接矩阵的第 i + 1 i+1 i+1行中值为1的元素的总数目;
(5) 对于有向图,若某一顶点 v v v在一维数组中的下标为 i i i,则该顶点的出度为邻接矩阵的第 i + 1 i+1 i+1行中值为1的元素的总数目,入度为邻接矩阵的第 i + 1 i+1 i+1列中值为1的元素的总数目。
构造一个具有 n n n个顶点 e e e条边的无向网的时间复杂度为 O ( n 2 + n e ) O(n^2+ne) O(n2+ne),其中对邻接矩阵的初始化使用了 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)的时间。
4.2 邻接表
用于无向图、有向图
使用邻接表存储图时,将图分为两个部分:
第一部分为图中每一个顶点及与该顶点相关联的第一条边或弧,可以这样定义:
class VertexAdjacencyList(object):
"""
图的一个顶点
"""
def __init__(self, data):
self.data = data
# 与该顶点相连的第一条边FirstArc
self.FirstArc = None
使用data
域来存储图中的每一个顶点,FirstArc
域来存储与该顶点相关联的第一条弧或边,通常情况下指向第二部分单链表的第一个结点。
第二部分为用一个结点来存储图中的每一条边或弧,该结点由adjacent
域、info
域和NextArc
域组成,这些结点形成了单链表。这部分结点可以这样定义:
class ArcAdjacencyList(object):
"""
图的一个边(弧)
"""
def __init__(self, adjacent):
# 邻接点或弧头, 与该顶点相连的另一顶点的index
self.adjacent = adjacent
self.info = None
# 与该边(弧)依附于相同顶点的下一条边(弧)NextArc
self.NextArc = None
根据上面图的邻接表可以这样定义:
class GraphAdjacencyList(object):
"""
图的邻接表
"""
def __init__(self, kind):
# 图的类型: 无向图, 有向图, 无向网, 有向网
# kind: Undigraph, Digraph, Undinetwork, Dinetwork,
self.kind = kind
# 邻接表
self.vertices = []
# 当前顶点数
self.vexnum = 0
# 当前边(弧)数
self.arcnum = 0
无向图及其邻接表:
有向网及其邻接表、逆邻接表:
邻接表的特点如下:
(1) 由于存储边或弧通过不同的连接顺序会形成不同的单链表,所以图的邻接表不是唯一的;
(2) 对于具有 e e e条边的无向图,使用邻接表存储时需要 2 e 2e 2e个结点来存储图的边,而对于具有 e e e条弧的有向图,使用邻接表存储时需要 e e e个结点来存储图的弧;
(3) 对于具有 n n n个顶点 e e e条边或弧的稀疏图而言,若采用邻接矩阵存储,则需要 n 2 n^2 n2个存储空间来存储图的边或弧,而采用邻接表存储时,则至多需要 2 e 2e 2e个结点存储图的边或弧,所以稀疏图的存储使用邻接表会更节省空间;
(4) 对于无向图,顶点的度等于该顶点对应的单链表中结点的总数目;
(5) 对于有向图,若某一顶点在数组中的下标为 i i i,则该顶点的出度为该顶点对应的单链表中结点的总数目,入度为邻接表中adjacent
域内值为 i i i的结点的总数目。
在使用邻接表存储图时,计算图中的某一顶点的出度很容易,但是在计算其入度时,最坏的情况需要遍历整个邻接表。因此,有时为了方便计算顶点的入度,可以为该图建立一个逆邻接表。
在建立邻接表或逆邻接表时,如输入的顶点信息为顶点的编号,则建立邻接表或逆邻接表的时间复杂度为 O ( n + e ) O(n+e) O(n+e),否则,需要通过查找才能确定顶点在图中的位置,对应的时间复杂度为 O ( n e ) O(ne) O(ne)。
4.3 十字链表
用于有向图
十字链表通常用于有向图,可以将它看成邻接表和逆邻接表的结合。同样分为两个部分,即顶点结点部分和弧部分,通常将顶结点存储在数组中,弧结点存储在单链表中。
顶点结点包含data
域、FirstIn
域和FirstOut
域,其中data
域存储顶点的值,FirstIn
域指向以当前顶点为弧头的第
一条弧和FirstOut
域指向以当前顶点为弧尾的第一条弧。
弧结点包含TailVertex
域、HeadVertex
域、HeadLink
域、TailLink
域和info
域,其中TailVertex
域存储当前弧的弧尾在数组中的下标,HeadVertex
域存储当前弧的弧头在数组中的下标,HeadLink
域指向与当前弧有相同弧头的下一条弧,TailLink
域指向与当前弧有相同弧尾的下一条弧,info
域存储当前弧的其他信息。
顶点结点定义如下:
class VertexOrthogonalList(object):
"""
有向图的一个顶点
"""
def __init__(self, data):
self.data = data
# 以该顶点为弧头的第一条弧FirstIn
self.FirstIn= None
# 以该顶点为弧尾的第一条弧FirstOut
self.FirstOut= None
弧结点定义如下:
class ArcOrthogonalList(object):
"""
有向图的一条弧
"""
def __init__(self):
# 当前弧中弧头在数组中的下标HeadVertex
self.HeadVertex = None
# 当前弧中弧尾在数组中的下标TailVertex
self.TailVertex = None
# 与当前弧有相同弧头的下一条弧HeadLink
self.HeadLink = None
# 与当前弧有相同弧尾的下一条弧TailLink
self.TailLink = None
self.info = None
十字链表表示的有向图定义如下:
class GraphOrthogonalList(object):
"""
有向图的十字链表
"""
def __init__(self):
# 十字链表
self.vertices = []
# 当前顶点数
self.vexnum = 0
# 当前边(弧)数
self.arcnum = 0
有向图及其十字链表:
4.4 邻接多重表
用于无向图
在使用邻接表存储无向图时,图的每一条边都对应两个结点,由于这两个结点属于两个不同的邻接表,所以在进行删除操作时需要对邻接表的两条单链表进行操作,比较麻烦,所有引出了邻接多重表。邻接多重表同样分为两个部分,即顶点结点和边结点,通常将顶点结点存储在数组中,边结点存储在单链表中。
顶点结点包含data
域和FirstEdge
域,其中data
域存储顶点的值,FirstEdge
域指向与当前顶点相关联的第一条边。
边结点包含mark
域、VertexOne
域、NextEdgeOne
域、VertexTwo
域、NextEdgeTwo
域和info
域,其中mark
域用于标记当前是否被访问,VertexOne
域和VertexTwo
域分别存储当前边的两个顶点在数组中的下标,NextEdgeOne
域指向与VertexOne
域对应的顶点相关联的下一条边,NextEdgeTwo
域指向与VertexTwo
域对应的顶点相关联的下一条边,info
域存储当前边的其他信息。
顶点结点定义如下:
class VertexAdjacencyMultitable(object):
"""
无向图的一个顶点
"""
def __init__(self, data):
self.data = data
# 与该顶点相连的第一条边FirstEdge
self.FirstEdge = None
边结点定义如下:
class Edge(object):
"""
无向图的邻接多重表
"""
def __init__(self):
# 用来标记当前边是否已被访问过
self.mark = None
# 该边的两个顶点在数组中的下标
self.VertexOne = None
self.VertexTwo = None
# 与VertexOne对应的顶点相连的下一条边NextEdgeOne
self.NextEdgeOne = None
# 与VertexTwo对应的顶点相连的下一条边NextEdgeTwo
self.NextEdgeTwo = None
self.info = None
多重邻接表表示的图定义如下:
class GraphAdjacencyMultitable(object):
"""
无向图的邻接多重表
"""
def __init__(self):
self.vertices = []
self.vertexnum = 0
self.edgenum = 0
无向图及其邻接多重链表:
来源:https://blog.csdn.net/qq_42730750/article/details/108561256