浅谈Python描述数据结构之KMP篇

前言

  本篇章主要介绍串的KMP模式匹配算法及其改进，并用Python实现KMP算法。

1. BF算法

  BF算法，即Bruce−ForceBruce-ForceBruce−Force算法，又称暴力匹配算法。其思想就是将主串S的第一个字符与模式串T的第一个字符进行匹配，若相等，则继续比较S的第二个字符和T的第二个字符；若不相等，则比较S的第二个字符和T的第一个字符，依次比较下去，直到得出最后的匹配结果。

  假设主串S=ABACABABS=ABACABABS=ABACABAB，模式串T=ABABT=ABABT=ABAB，每趟匹配失败后，主串S指针回溯，模式串指针回到头部，然后再次匹配，过程如下：

def BF(substrS, substrT):
 if len(substrT) > len(substrS):
   return -1
 j = 0
 t = 0
 while j < len(substrS) and t < len(substrT):
   if substrT[t] == substrS[j]:
     j += 1
     t += 1
   else:
     j = j - t + 1
     t = 0
 if t == len(substrT):
   return j - t
 else:
   return -1

2. KMP算法

  KMP算法，是由D.E.Knuth、J.H.Morris、V.R.PrattD.E.Knuth、J.H.Morris、V.R.PrattD.E.Knuth、J.H.Morris、V.R.Pratt同时发现的，又被称为克努特-莫里斯-普拉特算法。该算法的基本思路就是在匹配失败后，无需回到主串和模式串最近一次开始比较的位置，而是在不改变主串已经匹配到的位置的前提下，根据已经匹配的部分字符，从模式串的某一位置开始继续进行串的模式匹配。

  就是这次匹配失败时，下次匹配时模式串应该从哪一位开始比较。

  BF算法思路简单，便于理解，但是在执行时效率太低。在上述的匹配过程中，第一次匹配时已经匹配的"ABA""ABA""ABA"，其前缀与后缀都是"A""A""A"，这个时候我们就不需要执行第二次匹配了，因为第一次就已经匹配过了，所以可以跳过第二次匹配，直接进行第三次匹配，即前缀位置移到后缀位置，主串指针无需回溯，并继续从该位开始比较。

  前缀：是指除最后一个字符外，字符串的所有头部子串。
  后缀：是指除第一个字符外，字符串的所有尾部子串。
  部分匹配值(Partial(Partial(PartialMatch,PM)Match,PM)Match,PM)：字符串的前缀和后缀的最长相等前后缀长度。
  例如，′a′'a'′a′的前缀和后缀都为空集，则最长公共前后缀长度为0；′ab′'ab'′ab′的前缀为{a}\{a\}{a}，后缀为{b}\{b\}{b}，则最长公共前后缀为空集，其长度长度为0；′aba′'aba'′aba′的前缀为{a,ab}\{a,ab\}{a,ab}，后缀为{a,ba}\{a,ba\}{a,ba}，则最长公共前后缀为{a}\{a\}{a}，其长度长度为1；′abab′'abab'′abab′的前缀为{a,ab,aba}\{a,ab,aba\}{a,ab,aba}，后缀为{b,ab,bab}\{b,ab,bab\}{b,ab,bab}，则最长公共前后缀为{ab}\{ab\}{ab}，其长度长度为2。
  前缀一定包含第一个字符，后缀一定包含最后一个字符。

 如果模式串1号位与主串当前位(箭头所指的位置)不匹配，将模式串1号位与主串的下一位进行比较。，这边就是一个特殊位置了，即如果主串与模式串的第1位不相同，那么下次就直接比较各第2位的字符。

 如果模式串2号位与主串当前位不匹配，找最长公共前后缀，指针前面的子串为"A""A""A"，即最长公共前后缀为空集，其长度为0，则下次匹配时将模式串1号位与主串的当前位进行比较。

  如果模式串3号位与主串当前位不匹配，找最长公共前后缀，指针前面的子串为"AB""AB""AB"，即最长公共前后缀为空集，其长度为0，则下次匹配时将模式串1号位与主串的当前位进行比较。

 如果模式串4号位与主串当前位不匹配，找最长公共前后缀，指针前面的子串为"ABA""ABA""ABA"，即最长公共前后缀为"A""A""A"，其长度为1，则下次匹配时将前缀位置移到后缀位置，即模式串2号位与主串的当前位进行比较。

  如果模式串5号位与主串当前位不匹配，找最长公共前后缀，指针前面的子串为"ABAA""ABAA""ABAA"，即最长公共前后缀为"A""A""A"，其长度为1，则下次匹配时将前缀位置移到后缀位置，即模式串2号位与主串的当前位进行比较。

  如果模式串6号位与主串当前位不匹配，找最长公共前后缀，指针前面的子串为"ABAAB""ABAAB""ABAAB"，即最长公共前后缀为"AB""AB""AB"，其长度为2，则下次匹配时将前缀位置移到后缀位置，即模式串3号位与主串的当前位进行比较。

  如果模式串7号位与主串当前位不匹配，找最长公共前后缀，指针前面的子串为"ABAABC""ABAABC""ABAABC"，即最长公共前后缀为空集，其长度为0，则下次匹配时将模式串1号位与主串的当前位进行比较。

如果模式串8号位与主串当前位不匹配，找最长公共前后缀，指针前面的子串为"ABAABCA""ABAABCA""ABAABCA"，即最长公共前后缀为"A""A""A"，其长度为1，则下次匹配时将模式串2号位与主串的当前位进行比较。

  综上，可以得到模式串的数组，发现没有，把主串去掉也可以得到这个数组，即下次匹配时模式串向后移动的位数与主串无关，仅与模式串本身有关。

  数组，即存放的是每个字符匹配失败时，对应的下一次匹配时模式串开始匹配的位置。

  如何在代码里实现上述流程呢？举个栗子，蓝色方框圈出的就是公共前后缀，假设：

 当Tj=TtT_j=T_tTj=Tt时，可以得到next[j+1]=t+1=next[j]+1next[j+1]=t+1=next[j]+1next[j+1]=t+1=next[j]+1。这个时候j=4,t=1j=4,t=1j=4,t=1(索引)；

  当Tj≠TtT_j \neq T_tTj=Tt时，即模式串ttt位置与主串(并不是真正的主串)不匹配，则将下面的那个模式串移动到next[t]next[t]next[t]位置进行比较，即t=next[t]t=next[t]t=next[t]，直到Tj=TtT_j=T_tTj=Tt或t=−1t=-1t=−1，当t=−1t=-1t=−1时，next[j+1]=0next[j+1]=0next[j+1]=0。这里就是t=next[2]=0t=next[2]=0t=next[2]=0，即下次匹配时，模式串的第1位与主串当前位进行比较。

  代码如下：

def getNext(substrT):
 next_list = [-1 for i in range(len(substrT))]
 j = 0
 t = -1
 while j < len(substrT) - 1:
   if t == -1 or substrT[j] == substrT[t]:
     j += 1
     t += 1
     # Tj=Tt, 则可以到的next[j+1]=t+1
     next_list[j] = t
   else:
     # Tj!=Tt, 模式串T索引为t的字符与当前位进行匹配
     t = next_list[t]
 return next_list

def KMP(substrS, substrT, next_list):
 count = 0
 j = 0
 t = 0
 while j < len(substrS) and t < len(substrT):
   if substrS[j] == substrT[t] or t == -1:
     # t == -1目的就是第一位匹配失败时
     # 主串位置加1, 匹配串回到第一个位置(索引为0)
     # 匹配成功, 主串和模式串指针都后移一位
     j += 1
     t += 1
   else:
     # 匹配失败, 模式串索引为t的字符与当前位进行比较
     count += 1
     t = next_list[t]
 if t == len(substrT):
   # 这里返回的是索引
   return j - t, count+1
 else:
   return -1, count+1

3. KMP算法优化版

  上面定义的数组在某些情况下还有些缺陷，发现没有，在第一个图中，我们还可以跳过第3次匹配，直接进行第4次匹配。为了更好地说明问题，我们以下面这种情况为例，来优化一下KMP算法。假设主串S=AAABAAAABS=AAABAAAABS=AAABAAAAB，模式串T=AAAABT=AAAABT=AAAAB，按照KMP算法，匹配过程如下：

 可以看到第2、3、4次的匹配是多余的，因为我们在第一次匹配时，主串SSS的4号位为模式串TTT的4号位就已经比较了，且T3≠S3T_3 \neq S_3T3=S3，又因为模式串TTT的4号位与其1、2、3号位的字符一样，即T3=T2=T1=T0≠S3T_3=T_2=T_1=T_0 \neq S_3T3=T2=T1=T0=S3，所以可以直接进入第5次匹配。

  那么，问题出在哪里？？？我们结合着数组看一下：

  问题在于，当Tj≠SjT_j \neq S_jTj=Sj时，下次匹配的必然是Tnext[j]T_{next[j]}Tnext[j]与SjS_jSj，如果这时Tnext[j]=TjT_{next[j]} = T_jTnext[j]=Tj，那么又相当于TjT_jTj与SjS_jSj进行比较，因为它们的字符一样，毫无疑问，这次匹配是没有意义的，应当将next[j]next[j]next[j]的值直接赋值为-1，即遇到这种情况，主串与模式串都从下一位开始比较。

  所以，我们要修正一下数组。

  大致流程和上面求解数组时一样，这里就是多了一个判别条件，如果在匹配时出现了Tnext[j]=TjT_{next[j]} = T_jTnext[j]=Tj，我们就将更新为，直至两者不相等为止(相当于了迭代)。在代码里面实现就是，如果某个字符已经相等或者第一个数组值为-1(即t=−1t=-1t=−1)，且主串和模式串指针各后移一位时的字符仍然相同，那么就将当前的值更新为上一个数组值，更新后的数组命名为。

  代码如下：

def getNextval(substrT):
 nextval_list = [-1 for i in range(len(substrT))]
 j = 0
 t = -1
 while j < len(substrT) - 1:
   if t == -1 or substrT[j] == substrT[t]:
     j += 1
     t += 1
     if substrT[j] != substrT[t]:
       # Tj=Tt, 但T(j+1)!=T(t+1), 这个就和next数组计算时是一样的
       # 可以得到nextval[j+1]=t+1
       nextval_list[j] = t
     else:
       # Tj=Tt, 且T(j+1)==T(t+1), 这个就是next数组需要更新的
       # nextval[j+1]=上一次的nextval_list[t]
       nextval_list[j] = nextval_list[t]
   else:
     # 匹配失败, 模式串索引为t的字符与当前位进行比较
     t = nextval_list[t]
 return nextval_list

  对KMP的优化其实就是对数组的优化，修正后的数组，即数组如下：

  下面就测试一下：

if __name__ == '__main__':
 S1 = 'ABACABAB'
 T1 = 'ABAB'
 S2 = 'AAABAAAAB'
 T2 = 'AAAAB'

print('*' * 50)
 print('主串S={0}与模式串T={1}进行匹配'.format(S1, T1))

print('{:*^25}'.format('KMP'))
 next_list1 = getNext(T1)
 print('next数组为: {}'.format(next_list1))
 index1_1, count1_1 = KMP(S1, T1, next_list1)
 print('匹配到的位置(索引): {}, 匹配次数: {}'.format(index1_1, count1_1))

print('{:*^25}'.format('KMP优化版'))
 nextval_list1 = getNextval(T1)
 print('nextval数组为: {}'.format(nextval_list1))
 index1_2, count1_2 = KMP(S1, T1, nextval_list1)
 print('匹配到的位置(索引): {}, 匹配次数: {}'.format(index1_2, count1_2))

print('')
 print('*' * 50)
 print('主串S={0}与模式串T={1}进行匹配'.format(S2, T2))

print('{:*^25}'.format('KMP'))
 next_list2 = getNext(T2)
 print('next数组为: {}'.format(next_list2))
 index2_1, count2_1 = KMP(S2, T2, next_list2)
 print('匹配到的位置(索引): {}, 匹配次数: {}'.format(index2_1, count2_1))

print('{:*^25}'.format('KMP优化版'))
 nextval_list2 = getNextval(T2)
 print('nextval数组为: {}'.format(nextval_list2))
 index2_2, count2_2 = KMP(S2, T2, nextval_list2)
 print('匹配到的位置(索引): {}, 匹配次数: {}'.format(index2_2, count2_2))

  运行结果如下：

  运行的结果和我们分析的是一样的，不修正数组时，主串S=ABACABABS=ABACABABS=ABACABAB与模式串T=ABABT=ABABT=ABAB匹配时需要4次，主串S=AAABAAAABS=AAABAAAABS=AAABAAAAB与模式串T=AAAABT=AAAABT=AAAAB匹配时需要5次；修正数组后，主串S=ABACABABS=ABACABABS=ABACABAB与模式串T=ABABT=ABABT=ABAB匹配时需要3次，主串S=AAABAAAABS=AAABAAAABS=AAABAAAAB与模式串T=AAAABT=AAAABT=AAAAB匹配时仅需要2次。

结束语

  在写本篇博客之前也是反复看参考书、视频，边画图边去理解它，这篇博客也是反复修改了好几次，最终算是把KMP解决掉了，有关字符串知识的复习也算是基本结束，下面就是刷题了(虽然在LeetCode做过了几道题)。

来源：https://blog.csdn.net/qq_42730750/article/details/108058105