Python数据拟合实现最小二乘法示例解析

所谓最小二乘法，即通过对数据进行拟合，使得拟合值与样本值的方差最小。

线性拟合

这个表达式还是非常简单的。

对于有些情况，我们往往选取自然序列作为自变量，这个时候在求自变量的取值时可以用到一些初等数学的推论，对于 x ∈ [ m , n ] 的自然序列来说，有

#文件名core.py
import numpy as np
def leastSquare(x,y):
   if len(x)==2:
   #此时x为自然序列
       sx = 0.5*(x[1]-x[0]+1)*(x[1]+x[0])
       ex = sx/(x[1]-x[0]+1)
       sx2 = ((x[1]*(x[1]+1)*(2*x[1]+1))
             -(x[0]*(x[0]-1)*(2*x[0]-1)))/6
       x = np.array(range(x[0],x[1]+1))
   else:
       sx = sum(x)
       ex = sx/len(x)
       sx2 = sum(x**2)    
   sxy = sum(x*y)
   ey = np.mean(y)
   a = (sxy-ey*sx)/(sx2-ex*sx)
   b = (ey*sx2-sxy*ex)/(sx2-ex*sx)
   return a,b

测试一下

>>> x = np.arange(25)
>>> y = x*15+20+np.random.randn(len(x))*5#randn生成正态分布噪声
>>> a,b = core.leastSquare(x,y)
>>> plt.scatter(x,y)#原始数据散点图
<matplotlib.collections.PathCollection object at 0x00000218DEBBEDC8>
>>> plt.plot(x,a*x+b)#拟合直线
[<matplotlib.lines.Line2D object at 0x00000218E0314FC8>]
>>> plt.show()

得到

高阶多项式

和前面一样，约定

代码如下

#传入参数格式为np.array,n为阶数
def leastSquareMulti(x,y,n):
   X = [np.sum(x**i) for i in range(2*n+1)]
   Y = np.array([[np.sum(y*x**i)] for i in range(n+1)])
   S = np.array([X[i:i+n+1] for i in range(n+1)])
   return np.linalg.solve(S,Y)#

经测试结果如下：

>>> x = np.arange(25)
>>> y = x**3+3*x**2+2*x+12
>>> import core
>>> core.leastSquareMulti(x,y,3)
array([[12.],#此为常数项
      [ 2.],
      [ 3.],
      [ 1.]])

多自变量

对于样本

则相应地其误差方程组可表示为

指数函数

则其代码为

def expFit(x,y):
   y0 = y[0:-3]
   y1 = y[1:-2]
   y2 = y[2:-1]
   B,C = leastSquare(y2/y0,y1/y0)
   b1 = np.log((B-np.sqrt(B**2+4*C))/2)
   b2 = np.log((B+np.sqrt(B**2+4*C))/2)
   X = np.exp(b1-b2)*x
   Y = y/np.exp(b2*x)
   a1,a2 = leastSquare(X,Y)
   return a1,a2,b1,b2

以上就是Python数据拟合实现最小二乘法示例解析的详细内容，更多关于Python实现最小二乘法的资料请关注脚本之家其它相关文章！

来源：https://blog.csdn.net/m0_37816922/article/details/97161484