Java 关于时间复杂度和空间复杂度的深度刨析

1.算法效率

算法效率分析分为两种：第一种是时间效率，第二种是空间效率。时间效率被称为时间复杂度，而空间效率被称作空间复杂度。

时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间

如今我们更关注的是时间复杂度，而对空间复杂度已不再关注。

2.时间复杂度

2.1时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。

一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，因此算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度

2.2大O的渐进表示法

请看如下代码：

// 请计算一下func1基本操作执行了多少次？
void func1(int N){
  int count = 0;
  for (int i = 0; i < N ; i++) {
      for (int j = 0; j < N ; j++) {//N^2次
          count++;
      }
  }
  for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {//2N次
      count++;
  }
  int M = 10;
  while ((M--) > 0){//10次
      count++;
  }
   System.out.println(count);
}

F(N) = N^2 + 2N + 10
Func1 执行的基本操作次数 ：
N = 10 , F(N) = 130
N = 100 , F(N) = 10210
N = 1000 , F(N) = 1002010

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号

推导大O阶方法：

• 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

• 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

• 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为 O(N^2)

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上限)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

2.3常见时间复杂度计算

2.3.1常用的时间复杂度量级

2.3.2常见示例举例

2.3.1.1计算 bubbleSort 的时间复杂度

// 计算bubbleSort的时间复杂度？
void bubbleSort(int[] array){
  for (int end = array.length; end > 0; end--){
      boolean sorted = true;
      for (int i = 1; i < end; i++){
          if (array[i - 1] > array[i]){
              Swap(array, i - 1, i);
              sorted = false;
          }
      }
      if (sorted == true){
          break;
      }
  }
}

2.3.1.2计算 binarySearch 的时间复杂度

// 计算binarySearch的时间复杂度？
int binarySearch(int[] array, int value) {
  int begin = 0;
  int end = array.length - 1;
  while (begin <= end) {
      int mid = begin + ((end-begin) / 2);
      if (array[mid] < value)
          begin = mid + 1;
      else if (array[mid] > value)
          end = mid - 1;
      else
          return mid;
  }
  return -1; }

2.3.1.3计算阶乘递归 factorial 的时间复杂度

// 计算阶乘递归factorial的时间复杂度？
long factorial(int N) {
   return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;
}

2.3.1.4计算斐波那契递归 fibonacci 的时间复杂度

// 计算斐波那契递归fibonacci的时间复杂度？
int fibonacci(int N){
   return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);
}

2.3.2示例答案及分析

2.3.2.1 bubbleSort 的时间复杂度

实例4基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N-1))/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2)

2.3.2.2 binarySearch 的时间复杂度

实例5基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN) ps：logN在算法分析中表示是底数为2，对数为N。有些地方会写成lgN。（建议通过折半查找的方式讲解logN是怎么计算出来的）(因为二分查找每次排除掉一半的不适合值,一次二分剩下：n/2/2=4)

2.3.2.3 阶乘递归 factorial 的时间复杂度

递归的时间复杂度=递归的次数*每次递归的次数

实例6通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)

2.3.2.4 斐波那契递归 fibonacci 的时间复杂度

实例7通过计算分析发现基本操作递归了2^N次 ,时间复杂度为 O(2^N)

3.空间复杂度

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

示例1：计算 bubbleSort 的空间复杂度？

// 计算bubbleSort的空间复杂度？
void bubbleSort(int[] array) {
   for (int end = array.length; end > 0; end--) {
       boolean sorted = true;
       for (int i = 1; i < end; i++) {
          if (array[i - 1] > array[i]) {
             Swap(array, i - 1, i);
             sorted = false;
          }
        }
    if (sorted == true) {
        break;
    }
}
}

实例1使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)
示例2：

// 计算fibonacci的空间复杂度？
int[] fibonacci(int n) {
   long[] fibArray = new long[n + 1];
   fibArray[0] = 0;
   fibArray[1] = 1;
   for (int i = 2; i <= n ; i++) {
   fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
   }
return fibArray;
}

实例2动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)
示例3：

// 计算阶乘递归Factorial的时间复杂度？
long factorial(int N) {
   return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N;
}

实例3递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用常数的空间，空间复杂度为 O(N)

来源：https://blog.csdn.net/m0_57105290/article/details/120899233