教你在 Java 中实现 Dijkstra 最短路算法的方法

定义

最短路问题的定义为：

下图左侧是一幅带权有向图，以顶点 0 为起点到各个顶点的最短路径形成的最短路径树如下图右侧所示：

带权有向图的实现

在实现最短路算法之前需要先实现带权有向图。在上一篇博客 《如何在 Java 中实现最小生成树算法》 中我们实现了带权无向图，只需一点修改就能实现带权有向图。

带权有向边

首先应该实现带权有向图中的边 DirectedEdge，这个类有三个成员变量：指出边的顶点 v、边指向的顶点 w 和边的权重 weight。代码如下所示：

package com.zhiyiyo.graph;
/**
* 带权有向边
*/
public class DirectedEdge {
   int v, w;
   double weight;
   public DirectedEdge(int v, int w, double weight) {
       this.v = v;
       this.w = w;
       this.weight = weight;
   }
   public int from() {
       return v;
   public int to() {
       return w;
   public double getWeight() {
       return weight;
   @Override
   public String toString() {
       return String.format("％d->％d(％.2f)", v, w, weight);
}

带权有向图

带权有向图的实现非常简单，只需将带权无向图使用的 Edge 类换成 DirectedEdge 类，并作出少许调整即可：

package com.zhiyiyo.graph;
import com.zhiyiyo.collection.stack.LinkStack;
import com.zhiyiyo.collection.stack.Stack;
public class WeightedDigraph {
   private final int V;
   protected int E;
   protected LinkStack<DirectedEdge>[] adj;
   public WeightedDigraph(int V) {
       this.V = V;
       adj = (LinkStack<DirectedEdge>[]) new LinkStack[V];
       for (int i = 0; i < V; i++) {
           adj[i] = new LinkStack<>();
       }
   }
   public int V() {
       return V;
   }
   public int E() {
       return E;
   }
   public void addEdge(DirectedEdge edge) {
       adj[edge.from()].push(edge);
       E++;
   }
   public Iterable<DirectedEdge> adj(int v) {
       return adj[v];
   }
   public Iterable<DirectedEdge> edges() {
       Stack<DirectedEdge> edges = new LinkStack<>();
       for (int v = 0; v < V; ++v) {
           for (DirectedEdge edge : adj(v)) {
               edges.push(edge);
           }
       }
       return edges;
   }
}

最短路算法

API

最短路算法应该支持起始点 \(v_s\) 到任意顶点 \(v_t\) 的最短距离和最短路径的查询：

package com.zhiyiyo.graph;
import com.zhiyiyo.collection.stack.LinkStack;
import com.zhiyiyo.collection.stack.Stack;
public class WeightedDigraph {
   private final int V;
   protected int E;
   protected LinkStack<DirectedEdge>[] adj;
   public WeightedDigraph(int V) {
       this.V = V;
       adj = (LinkStack<DirectedEdge>[]) new LinkStack[V];
       for (int i = 0; i < V; i++) {
           adj[i] = new LinkStack<>();
       }
   }
   public int V() {
       return V;
   public int E() {
       return E;
   public void addEdge(DirectedEdge edge) {
       adj[edge.from()].push(edge);
       E++;
   public Iterable<DirectedEdge> adj(int v) {
       return adj[v];
   public Iterable<DirectedEdge> edges() {
       Stack<DirectedEdge> edges = new LinkStack<>();
       for (int v = 0; v < V; ++v) {
           for (DirectedEdge edge : adj(v)) {
               edges.push(edge);
           }
       return edges;
}

Dijkstra 算法

我们可以使用一个距离数组 distTo[] 来保存起始点 \(v_s\) 到其余顶点 \(v_t\) 的最短路径，且 distTo[] 数组满足以下条件：

可以使用 Double.POSITIVE_INFINITY 来表示无穷大，有了这个数组之后我们可以实现 ShortestPath 前两个方法：

package com.zhiyiyo.graph;
public class DijkstraSP implements ShortestPath {
   private double[] distTo;
   @Override
   public double distTo(int v) {
       return distTo[v];
   }
   public boolean hasPathTo(int v) {
       return distTo[v] < Double.POSITIVE_INFINITY;
}

为了实现保存 \(v_s\) 到 \(v_t\) 的最短路径，可以使用一个边数组 edgeTo[]，其中 edgeTo[v] = e_wv 表示要想到达 \(v_t\)，需要先经过顶点 \(v_w\)，接着从 edgeTo[w]获取到达 \(v_w\) 之前需要到达的上一个节点，重复上述步骤直到发现 edgeTo[i] = null，这时候就说明我们回到了 \(v_s\)。 获取最短路径的代码如下所示：

@Override
public Iterable<DirectedEdge> pathTo(int v) {
   if (!hasPathTo(v)) return null;
   Stack<DirectedEdge> path = new LinkStack<>();
   for (DirectedEdge e = edgeTo[v]; e != null; e = edgeTo[e.from()]) {
       path.push(e);
   }
   return path;
}

算法流程

虽然我们已经实现了上述接口，但是如何得到 distTo[] 和 edgeTo[] 还是个问题，这就需要用到 Dijkstra 算法了。算法的思想是这样的：

• 初始化 distTo[] 使得除了 distTo[s] = 0 外，其余的元素都为 Double.POSITIVE_INFINITY。同时初始化 edgeTo[] 的每个元素都是 null；

• 将顶点 s 的所有相邻顶点 \(v_j\) 加入集合 \(V'\) 中，设置 distTo[j] = l_sj 即初始化最短距离为邻边的权重；

• 从 \(V'\) 中取出距离最短即 distTo[m] 最小的顶点 \(v_m\)，遍历 \(v_m\) 的所有邻边 \((v_m, v_w)\)，如果有 \(l_{mw}+l_{sw}<l_{sw}\)，就说明从 \(v_s\) 走到 \(v_m\) 再一步走到 \(v_w\) 距离最短，我们就去更新 distTo[m]，同时将 \(v_w\) 添加到 \(V'\) 中（如果 \(v_w\) 不在的话）；

重复上述过程直到 \(V'\) 变为空，我们就已经找到了所有 \(v_s\) 可达的顶点的最短路径。

上述过程中有个地方会影响算法的性能，就是如何从 \(V'\) 中取出最小距离对应的顶点 \(v_m\)。如果直接遍历 \(V'\) 最坏情况下时间复杂度为 \(O(|V|)\)，如果换成最小索引优先队列则可以将时间复杂度降至 \(O(\log|V|)\)。

最小索引优先队列

上一篇博客 《如何在 Java 中实现最小生成树算法》 中介绍了最小堆的使用，最小堆可以在对数时间内取出数据集合中的最小值，对应到最短路算法中就是最短路径。但是有一个问题，就是我们想要的是最短路径对应的那个顶点 \(v_m\)，只使用最小堆是做不到这一点的。如何能将最小堆中的距离值和顶点进行绑定呢？这就要用到索引优先队列。

索引优先队列的 API 如下所示，可以看到每个元素 item 都和一个索引 k 进行绑定，我们可以通过索引 k 读写优先队列中的元素。想象一下堆中的所有元素放在一个数组 pq 中，索引优先队列可以做到在对数时间内取出 pq 的最小值。

package com.zhiyiyo.collection.queue;
/**
* 索引优先队列
*/
public interface IndexPriorQueue<K extends Comparable<K>> {
   /**
    * 向堆中插入一个元素
    *
    * @param k 元素的索引
    * @param item 插入的元素
    */
   void insert(int k, K item);
    * 修改堆中指定索引的元素值
    * @param item 新的元素值
   void change(int k, K item);
    * 向堆中插入或修改元素
   void set(int k, K item);
    * 堆是否包含索引为 k 的元素
    * @param k 索引
    * @return 是否包含
   boolean contains(int k);
    * 弹出堆顶的元素并返回其索引
    * @return 堆顶元素的索引
   int pop();
    * 弹出堆中索引为 k 为元素
    * @return 索引对应的元素
   K delete(int k);
    * 获取堆中索引为 k 的元素，如果 k 不存在则返回 null
    * @return 索引为 k 的元素
   K get(int k);
    * 获取堆中的元素个数
   int size();
    * 堆是否为空
   boolean isEmpty();
}

实现索引优先队列比优先队列麻烦一点，因为需要维护每个元素的索引。之前我们是将元素按照完全二叉树的存放顺序进行存储，现在可以换成索引，而元素只需根据索引值 k 放在数组 keys[k] 处即可。只有索引数组 indexes[] 和元素数组 keys[] 还不够，如果我们想实现 contains(int k) 方法，目前只能遍历一下 indexes[]，看看 k 在不在里面，时间复杂度是 \(O(|V|)\)。何不多维护一个数组 nodeIndexes[]，使得它满足下述关系：

如果能在 nodeIndexes[k] 不是 -1，就说明索引 \(k\) 对应的元素存在与堆中，且索引 k 在 indexes[] 中的位置为 \(d\)，即有下述等式成立：

有了这三个数组之后我们就可以实现最小索引优先队列了：

package com.zhiyiyo.collection.queue;
import java.util.Arrays;
import java.util.NoSuchElementException;
/**
* 最小索引优先队列
*/
public class IndexMinPriorQueue<K extends Comparable<K>> implements IndexPriorQueue<K> {
   private K[] keys;           // 元素
   private int[] indexes;      // 元素的索引，按照最小堆的顺序摆放
   private int[] nodeIndexes;  // 元素的索引在完全二叉树中的编号
   private int N;
   public IndexMinPriorQueue(int maxSize) {
       keys = (K[]) new Comparable[maxSize + 1];
       indexes = new int[maxSize + 1];
       nodeIndexes = new int[maxSize + 1];
       Arrays.fill(nodeIndexes, -1);
   }
   @Override
   public void insert(int k, K item) {
       keys[k] = item;
       indexes[++N] = k;
       nodeIndexes[k] = N;
       swim(N);
   public void change(int k, K item) {
       validateIndex(k);
       swim(nodeIndexes[k]);
       sink(nodeIndexes[k]);
   public void set(int k, K item) {
       if (!contains(k)) {
           insert(k, item);
       } else {
           change(k, item);
       }
   public boolean contains(int k) {
       return nodeIndexes[k] != -1;
   public int pop() {
       int k = indexes[1];
       delete(k);
       return k;
   public K delete(int k) {
       K item = keys[k];
       // 交换之后 nodeIndexes[k] 发生变化，必须先保存为局部变量
       int nodeIndex = nodeIndexes[k];
       swap(nodeIndex, N--);
       // 必须有上浮的操作，交换后的元素可能比上面的元素更小
       swim(nodeIndex);
       sink(nodeIndex);
       keys[k] = null;
       nodeIndexes[k] = -1;
       return item;
   public K get(int k) {
       return contains(k) ? keys[k] : null;
   public K min() {
       return keys[indexes[1]];
   /**
    * 获取最小的元素对应的索引
    */
   public int minIndex() {
       return indexes[1];
   public int size() {
       return N;
   public boolean isEmpty() {
       return N == 0;
    * 元素上浮
    *
    * @param k 元素的索引
   private void swim(int k) {
       while (k > 1 && less(k, k / 2)) {
           swap(k, k / 2);
           k /= 2;
    * 元素下沉
   private void sink(int k) {
       while (2 * k <= N) {
           int j = 2 * k;
           // 检查是否有两个子节点
           if (j < N && less(j + 1, j)) j++;
           if (less(k, j)) break;
           swap(k, j);
           k = j;
    * 交换完全二叉树中编号为 a 和 b 的节点
    * @param a 索引 a
    * @param b 索引 b
   private void swap(int a, int b) {
       int k1 = indexes[a], k2 = indexes[b];
       nodeIndexes[k2] = a;
       nodeIndexes[k1] = b;
       indexes[a] = k2;
       indexes[b] = k1;
   private boolean less(int a, int b) {
       return keys[indexes[a]].compareTo(keys[indexes[b]]) < 0;
   private void validateIndex(int k) {
           throw new NoSuchElementException("索引" + k + "不在优先队列中");
}

注意对比最小堆和最小索引堆的 swap(int a, int b) 方法以及 less(int a, int b) 方法，在交换堆中的元素时使用的依据是元素的大小，交换之后无需调整 keys[]，而是交换 nodeIndexes[] 和 indexes[] 中的元素。

实现算法

通过上述的分析，实现 Dijkstra 算法就很简单了，时间复杂度为 \(O(|E|\log |V|)\)：

package com.zhiyiyo.graph;
import com.zhiyiyo.collection.queue.IndexMinPriorQueue;
import com.zhiyiyo.collection.stack.LinkStack;
import com.zhiyiyo.collection.stack.Stack;
import java.util.Arrays;
public class DijkstraSP implements ShortestPath {
   private double[] distTo;
   private DirectedEdge[] edgeTo;
   private IndexMinPriorQueue<Double> pq;
   private int s;
   public DijkstraSP(WeightedDigraph graph, int s) {
       pq = new IndexMinPriorQueue<>(graph.V());
       edgeTo = new DirectedEdge[graph.V()];

// 初始化距离
       distTo = new double[graph.V()];
       Arrays.fill(distTo, Double.POSITIVE_INFINITY);
       distTo[s] = 0;
       visit(graph, s);
       while (!pq.isEmpty()) {
           visit(graph, pq.pop());
       }
   }
   private void visit(WeightedDigraph graph, int v) {
       for (DirectedEdge edge : graph.adj(v)) {
           int w = edge.to();
           if (distTo[w] > distTo[v] + edge.getWeight()) {
               distTo[w] = distTo[v] + edge.getWeight();
               edgeTo[w] = edge;
               pq.set(w, distTo[w]);
           }
   // 省略已实现的方法 ...
}

后记

Dijkstra 算法还能继续优化，将最小索引堆换成斐波那契堆之后时间复杂度为 \(O(|E|+|V|\log |V|)\)，这里就不写了（因为还没学到斐波那契堆），以上~~

来源：https://www.cnblogs.com/zhiyiYo/p/16114828.html