Java数据结构学习之树

一、树

1.1 概念

与线性表表示的一一对应的线性关系不同，树表示的是数据元素之间更为复杂的非线性关系。

直观来看，树是以分支关系定义的层次结构。 树在客观世界中广泛存在，如人类社会的族谱和各种社会组织机构都可以用树的形象来表示。

简单来说，树表示的是1对多的关系。

定义（逻辑结构）：

树(Tree)是n( n>=0 )个结点的有限集合，没有结点的树称为空树，在任意一颗非空树中： 有且仅有一个特定的称为根(root)的结点 。

当n>1的时，其余结点可分为 m( m>0 ) 个互不相交的有限集T1，T2，…, Tm，其中每一个集合 Ti 本身又是一棵树，并且称之为根的子树。

注意：树的定义是一个递归定义，即在树的定义中又用到树的概念。

1.2 术语

（1）一个结点的子树的根，称为该结点的孩子(儿子)，相应的该结点称为子树的根的父亲。

（2）没有孩子的结点称为树叶，又叫叶子结点 。(国外, nil叫叶子) 具有相同父亲的结点互为兄弟(同胞, 姐妹)。

（3）从结点n1 到 nk 的路径定义为节点 n1 n2 … nk 的一个序列，使得对于 1 <= i < k，节点 ni是 ni+1 的父亲。这条路径的长是为该路径上边的条数，即 k-1。从每一个结点到它自己有一条长为 0 的路径。注意，在一棵树中从根到每个结点恰好存在一条路径。 如果存在从n1到n2的一条路径，那么n1是n2的一位祖先 ，而n2是n1的一个后裔。如果n1 != n2，那么n1是n2的真祖先, 而n2是n1的真后裔。

（4）结点的层级从根开始定义，根为第一层，根的孩子为第二层。若某结点在第i层，则其孩子就在i+1层。(树有层级定义)

（5）对任意结点ni，ni的深度为从根到ni的唯一路径的长。因此，根的深度为0。(深度)

（6）一颗树的高等于它根的高。一颗树的深度等于它最深的树叶的深度; 该深度总是等于这棵树的高。

（7）性质：如果一棵树有n个结点，那么它有n-1条边。(为什么呢?)

每一结点都有一个边指向它(除了根节点)
每一条边都指向一个结点

（8） 概念： 度 (图这种数据结构) 对图这种数据结构: 每个结点的度: 一般指有几个结点和我这个结点相关

树这种数据结构: 度: 一般指有几个孩子

1.3 树的实现

怎么通过代码来模拟一个树
集合类： 数据容器
数组 链表, 数组+链表
数据结构表现形式：树

1.3.1 用数组来实现一棵树？

如果非要用数组存储一棵树的话, 也可以, 不过会存在各种问题。

1.3.2 用链表实现一棵树？

如果用链表存储一棵树也会有一些问题( 1, 牺牲内存, 2, 多种结点类型)

1.3.3 树的转化

（1）经过转化的树比较容易存储: 这种根据下面特点转化的树 被称为 二叉树。

① 如果一个结点 有孩子, 那么让他的第一个孩子, 作为这个结点的left子结点。
②如果一个结点有兄弟结点, 那么让他的兄弟结点, 作为这个结点的right子结点。

1.4 二叉树

概念： 一个树, 每一个结点最多有两个孩子, 孩子有严格的左右之分

1.4.1 二叉树的性质

（1）二叉树具有以下重要性质：

①二叉树在第i层至多有2的(i-1)次方个节点
②层次为k的二叉树至多有2的k次方 - 1个节点

（2）对任何一颗二叉树T，如果其叶子节点数为n0 , 度为2的节点数为n2，则n0 = n2 + 1

（3）具有n个节点的完全二叉树，树的高度为log2n (向下取整)。

（4）如果对一颗有n个结点的完全二叉树的结点按层序从1开始编号，则对任意一结点有：

如果编号i为1，则该结点是二叉树的根;
如果编号i > 1，则其双亲结点编号为 parent(i) = i/2, 
若 2i > n 则该结点没有左孩子，否则其左孩子的编号为 2i,
若 2i + 1 > n 则该结点没有右孩子，否则其右孩子的编号为 2i + 1。

（5）二叉树的父子结点关系: 2倍 或者 2倍+1关系

–> 二叉树可以用数组存储 就是根据上述性质(但是一般在实际应用和开发中, 我们一般用链表存储二叉树)

1.4.2 二叉树的遍历

深度优先遍历： 栈

（1）先序遍历：先遍历根结点, 再遍历左子树, 再遍历右子树
（2）中序遍历：先遍历左子树, 再遍历根结点, 再遍历右子树
（3）后序遍历：先遍历左子树, 再遍历右子树, 再遍历根结点

广度优先遍历： 队列

树的广度优先遍历一般为层级遍历。（广度优先遍历–>图的广度遍历）

1.4.3 二叉树的建树

给一些序列(前中后序), 我们还原出一颗树原本的样子

Q1: 如果我们只知道前序，中序，后序中的某一种，能否构建出一棵二叉树？如果能，为什么？如果不能，试着举出反例。
答： 能构建一颗二叉树, 但是不能构建出一颗唯一的二叉树

Q2:如果我们只知道前序，中序，后序中的某两种，能否构建出一棵唯一的二叉树？如果能，为什么？如果不能，试着举出反例。

前序 + 中序 可以–> 前序可以确定根节点, 中序可以根据根节点划分左右子树
后序 + 中序 可以–> 后序可以确定根节点, 中序可以根据根节点划分左右子树
前序 + 后序, 不可以, 都只能确定根节点

二、BST(二叉查找树, 二分查找树, 二叉排序树)

就是在二叉树的基础上增减一个限定条件: 对树中每一个结点 它的左子树的结点比这个结点都小, 右子树上的结点比这个结点都大

2.1 代码实现

注意: 递归需要注意的事情

1, 递归的核心思想: 设计的时候不要考虑开始和结束是怎么回事, 抓住核心逻辑, 局部样本
2, 注意出口问题: 递归要有出口
3, 如果实现一个递归方法, 不要让这个方法被外界直接访问(没有语法问题, 只不过操作行为比较危险)
4, 一定要注意问题规模。

/**
* @author: Mr.Du
* @description: 二叉搜索树
* @date: 2021/05/04 17:00
*/
public class MyBSTree<T extends Comparable<T>> {

private Node root;//二叉搜索树根节点
   private int size;//二叉搜索树结点个数

//添加结点
   public boolean add(T value) {
       // 对于一个二叉搜索树来讲我们不存储null: null不能比较大小
       if (value == null)
           throw new IllegalArgumentException("The param is null");
       //判断原本的树是否为空
       if (root == null) {
           // 如果原本的树是一个空树, 那么这个添加的元素就是根节点
           root = new Node(value, null, null);
           size++;
           return true;
       }

//目前来看，树不空，值也不是null
       Node index = root;//比较结点
       Node indexF = null;//比较结点的父结点
       int com = 0;//比较value大小结果
       while (index != null) {
           // 把要存储的值, 和遍历结点作比较, 进一步确定相对于mid存储的位置
           com = index.value.compareTo(value);
           indexF = index;
           if (com > 0) {
               index = index.left;
           } else if (com < 0) {
               index = index.right;
           } else {
               // com = 0
               // value 和 index存储的值一样
               // 对于重复元素的处理方式
               //       理论上:
               //                1, 计数法:  对于每一个结点都额外维护一个参数, 记录这个元素的重复数量
               //                2, 拉链法: 在某个结点位置维护一个链表, 用一个链表代表一个结点
               //                3, 修正的BST: 如果比较的过程中发现了重复元素, 向左存储
               //       实际上:
               //             不让存
               return false;
           }
       }

if (com > 0) {
           indexF.left = new Node(value, null, null);
       } else {
           indexF.right = new Node(value, null, null);
       }
       size++;
       return true;
   }

//是否存在指定值
   public boolean contains(T value) {
       // 对于一个二叉搜索树来讲我们不存储null: null不能比较大小
       if (value == null)
           throw new IllegalArgumentException("The param is null");

Node index = root;
       int com = 0;
       while (index != null) {
           com = value.compareTo(index.value);
           if (com > 0) {
               index = index.right;
           } else if (com < 0) {
               index = index.left;
           } else return true;
       }
       //如果代码走到这个位置, 意味着上述循环跳出条件是: index == null 意味着没有这个元素
       return false;
   }
   //递归方法删除二叉搜索树结点
   public boolean removeByRecursive(T value){
       int oldSize = size;
       root = removeByRe(root,value);
       return size<oldSize;
   }
   // 实现以root为根节点的子树上删除值为value的结点
   private Node removeByRe(Node root,T value){
       if (root == null) return null;
       int com = value.compareTo(root.value);
       if (com>0){
           //如果value存在, 在right子树上
           root.right = removeByRe(root.right,value);
           return root;
       }else if (com<0){
           //如果value存在, 在left子树上
           root.left = removeByRe(root.left,value);
           return root;
       }else{
           // 找到了要删除的结点
           if (root.left!=null&&root.right!=null){
               // 删除的结点是双分支结点
               // 获取right子树的最小值
               Node rightMin = root.right;
               while (rightMin.left!=null){
                   rightMin = rightMin.left;
               }
               //替换
               root.value = rightMin.value;
               // 接下来, 去right子树上删除rightMin(此时rightMin一定不是双分支结点)
               // 递归调用删除方法, 在这个root的right子树上删除这个替换值
               root.right = removeByRe(root.right,root.value);
               return root;
           }
           // 删除的是叶子或者单分支
           Node node = root.left != null? root.left : root.right;
           size--;
           return node;
       }
   }
   //非递归方法删除二叉搜索树结点
   public boolean removeByNonRecursive(T value) {
       //不存储null: null不能比较大小
       if (value == null)
           throw new IllegalArgumentException("The param is null");
       /*
       思路:
           先找到要删除的结点
           判断要删除的结点是不是双分支: 如果是双分支, 先替换
           删除单分支或者叶子
        */
       Node index = root;
       Node indexF = null;
       int com;
       while (index != null) {
           com = value.compareTo(index.value);
           if (com > 0) {
               indexF = index;
               index = index.right;
           } else if (com < 0) {
               indexF = index;
               index = index.left;
           } else
               break;
       }
       // indexF 是要删除结点的父结点
       // index 是找到的要删除的结点

//如果index是null,没有包含删除的元素，返回false
       if (index == null)
           return false;

//到这里，说明包含需要删除的元素
       if (index.left != null && index.right != null) {
           //去right子树找一个最小值, 替换这个删除结点
           Node rightMin = index.right;
           //替换结点的父结点
           Node rightMinF = index;
           //找index.right子树的最小值, 最left的元素
           while (rightMin.left != null) {
               rightMinF = rightMin;
               rightMin = rightMinF.left;
           }

//到达这里：rightMin.left=null
           //用查找的right子树上的最小值, 替换这个要删除的双分支结点
           index.value = rightMin.value;
           //将替换结点设置为后面需要删除的单分支结点
           indexF = rightMinF;
           index = rightMin;
       }

// 有可能原本就是叶子或者单分支
       // 也有可能双分支已经替换了, 现在要删除的是哪个替换了的, 叶子或者单分支

// 必定是个叶子或者单分支: index
       // 同时我们还记录了index 的 父结点 indexF

//寻找index的儿子结点ch:
       // 如果index是叶子 ,那么ch = null
       // 如果index是单分支, ch = 不为null单分支子结点
       Node ch = index.left != null ? index.left : index.right;

// 如果删除的是根节点, 并且根节点还是个单分支的结点, 对于上述代码会导致midF = null
       if (indexF == null) {
           root = ch;
           size--;
           return true;
       }

//删除结点
       if (indexF.left == index) {
           indexF.left = ch;
       } else
           indexF.right = ch;
       size--;
       return true;
   }

//用栈来实现先中后序遍历：
   //①先序
   public List<T> preOrder() {
       //保存遍历结果
       List<T> list = new ArrayList<>();
       //用栈来临时存储结点
       MyLinkedStack<Node> stack = new MyLinkedStack<>();
       //根节点入栈
       stack.push(root);
       while (!stack.isEmpty()) {
           Node pop = stack.pop();
           list.add(pop.value);
           if (pop.right != null)
               stack.push(pop.right);
           if (pop.left != null)
               stack.push(pop.left);
       }
       return list;
   }

//②中序
   public List<T> inOrder() {
       Stack<Node> stack = new Stack<>();
       List<T> list = new ArrayList<>();
       Node index = root;
       while (index != null || !stack.empty()) {
           while (index != null) {
               stack.push(index);
               index = index.left;
           }
           Node pop = stack.pop();
           list.add(pop.value);
           index = pop.right;
       }
       return list;
   }

//③后序
   public List<T> postOrder() {
       Stack<Node> stack = new Stack<>();
       List<T> list = new ArrayList<>();
       stack.push(root);
       while (!stack.empty()) {
           Node pop = stack.pop();
           list.add(0, pop.value);
           if (pop.left != null)
               stack.push(pop.left);
           if (pop.right != null)
               stack.push(pop.right);
       }
       return list;
   }

//用递归来实现先中后序遍历
   //①先序
   public List<T> preOrderRecursive() {
       List<T> list = new LinkedList<>();
       preRecursive(list, root);
       return list;
   }

// 先序：根 左 右
   private void preRecursive(List<T> list, Node node) {
       if (node == null)
           return;
       list.add(node.value);
       preRecursive(list, node.left);
       preRecursive(list, node.right);
   }

//②中序
   public List<T> inOrderRecursive() {
       List<T> list = new LinkedList<>();
       inRecursive(list, root);
       return list;
   }

// 中序遍历： 左 根 右
   private void inRecursive(List<T> list, Node node) {
       if (node == null)
           return;
       inRecursive(list, node.left);
       list.add(node.value);
       inRecursive(list, node.right);
   }

//③ 后序遍历
   public List<T> postOrderRecursive() {
       List<T> list = new LinkedList<>();
       postRecursive(list, root);
       return list;
   }

// 后序： 左 右 根
   private void postRecursive(List<T> list, Node node) {
       if (node == null)
           return;
       preRecursive(list, node.left);
       preRecursive(list, node.right);
       list.add(node.value);
   }

// 层级： 广度优先搜索(BFS)
   public List<T> levOrder() {
       List<T> list = new ArrayList<>();
       Queue<Node> queue = new LinkedBlockingQueue<>();

//根节点入队列
       queue.offer(root);
       while (!queue.isEmpty()) {
           //出队列元素
           Node poll = queue.poll();
           //遍历
           list.add(poll.value);
           //把出队列元素的左右子节点入队列
           if (poll.left != null)
               queue.offer(poll.left);
           if (poll.right != null)
               queue.offer(poll.right);
       }
       return list;
   }

//  建树: 给定前中序, 或者给定中后序,  构建出一棵二叉树

//  中序 [-50, -25, -20, -10, -5, 1, 2, 7, 10, 25, 30, 100]
   //  后序 [-20, -25, -50, -10, -5, 7, 2, 25, 30, 100, 10, 1]
   public Node buildTreeByInAndPostOrder(List<T> inOrder, List<T> postOrder) {
       Node treeRoot = buildTreeByInAndPostOrder2(inOrder, postOrder);
       return treeRoot;
   }

private Node buildTreeByInAndPostOrder2(List<T> inOrder, List<T> postOrder) {
       if (inOrder.size() == 0) return null;
       if (inOrder.size() == 1) return new Node(inOrder.get(0), null, null);
       //找根结点: 后序的最后一个元素
       T rootValue = postOrder.get(postOrder.size() - 1);
       //获得根节点在中序的位置
       int rootAtInOrderIndex = inOrder.indexOf(rootValue);

// 左子树的中序(中序中切割): 0 ~ rootAtInOrderIndex-1
       // 左子树的后序(后序中切割): 0 ~ rootAtInOrderIndex -1

// 右子树的中序(中序中切割): rootAtInOrderIndex + 1 ~ size -1
       // 右子树的后序(后序中切割): rootAtInOrderIndex ~ size - 2

//左子树
       //subList()：左闭右开
       List<T> leftInOrder = inOrder.subList(0, rootAtInOrderIndex);
       List<T> leftPostOrder = postOrder.subList(0, rootAtInOrderIndex);

//右子树
       //subList()：左闭右开
       List<T> rightInOrder = inOrder.subList(rootAtInOrderIndex + 1, inOrder.size());
       List<T> rightPostOrder = postOrder.subList(rootAtInOrderIndex, postOrder.size() - 1);
       //构建这次递归的根节点
       Node node = new Node(rootValue, null, null);
       // 用递归方法处理, 获得左子树
       node.left = buildTreeByInAndPostOrder2(leftInOrder, leftPostOrder);
       // 用递归方法处理, 获得右子树
       node.right = buildTreeByInAndPostOrder2(rightInOrder, rightPostOrder);

return node;
   }

//  中序 [-50, -25, -20, -10, -5, 1, 2, 7, 10, 25, 30, 100]
   //  前序 1  -5  -10  -50  -25  -20   10  2  7  100  30  25
   public Node buildTreeByInAndPreOrder(List<T> inOrder, List<T> preOrder) {
       Node treeRoot = buildTreeByInAndPreOrder2(inOrder, preOrder);
       return treeRoot;
   }

private Node buildTreeByInAndPreOrder2(List<T> inOrder, List<T> preOrder) {
       if (inOrder.size() == 0) return null;
       if (inOrder.size() == 1) return new Node(inOrder.get(0), null, null);

T rootValue = preOrder.get(0);
       int rootAtInOrderIndex = inOrder.indexOf(rootValue);

//左子树
       //subList()：左闭右开
       List<T> leftInOrder = inOrder.subList(0, rootAtInOrderIndex);
       List<T> leftPreOrder = preOrder.subList(1, rootAtInOrderIndex + 1);
       //右子树
       //subList()：左闭右开
       List<T> rightInOrder = inOrder.subList(rootAtInOrderIndex+1,inOrder.size());
       List<T> rightPreOrder = preOrder.subList(rootAtInOrderIndex+1,preOrder.size());

Node node = new Node(rootValue,null,null);
       node.left = buildTreeByInAndPreOrder2(leftInOrder,leftPreOrder);
       node.right = buildTreeByInAndPreOrder2(rightInOrder,rightPreOrder);
       return node;
   }

//判空
   public boolean isEmpty() {
       return size == 0;
   }

//返回结点个数
   public int size() {
       return size;
   }

class Node {
       T value;
       Node left;
       Node right;

public Node(T value, Node left, Node right) {
           this.value = value;
           this.left = left;
           this.right = right;
       }
   }
}

来源：https://blog.csdn.net/weixin_43510391/article/details/116381136